迪士尼彩乐园3手机版困扰数学家近60年的搬沙发难题疑似被照看！119页论文解释最优解

发布日期：2025-01-08 04:58 点击次数：143

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《诤友记》中的罗斯终于能把沙发搬进屋了。

生涯中处处充满数学，比如在经典好意思剧《诤友记》中，罗斯要搬家，却在和瑞秋抬沙发上楼梯扶手时翻了车。这波及了数学限制一个有名的未照看难题 —— 移动沙提问题（the moving sofa problem）。

起原：《诤友记 S05E16》

该问题是由加拿大数学家 Leo Moser 于 1966 年考究提议：在宽度为 1 的 L 形平面走廊中，或者通过一个直角转弯的「沙发」的最大面积是几许？

1968 年，数学家 John Michael Hammersley 提议了一种肤浅的解法。他将沙发考虑成访佛于一个电话听筒的形势，由两个四分之一圆和一个中间的矩形块组成，中间的矩形块中挖去了一个半圆形，从而得出的沙发最大面积为 2.2074。

但缺憾的是，这并不是最优解。

1992 年，好意思国数学家 Gerver 在 Hammersley 沙发的基础上进行了矫正，算出的最大沙发面积为 2.2195，固然比 Hammersley 沙发面积略大一些，但在法子上却灵巧得多。

Gerver 沙发由 18 条不同的弧线段组成，其中包括圆弧、圆的渐开线以及圆的渐开线的渐开线等多种弧线。每条弧线段齐由一个单独的解析抒发式形色，这使得 Gerver 沙发在数学上终点复杂。

Gerver 推测他的照看决策是最优的，但他无法解释他的沙发是独逐一个（何况是最大面积的）知足这个强条目的沙发。

2024 年 12 月 2 日，韩国粹者 Jineon Baek 发表了一篇新论文，宣称解释了 Gerver 确乎是正确的 —— 他的沙发是最优的。这项接洽在酬酢媒体（如 x）上的热度终点高，引起了好多东谈主的热心。

图源：x@Scientific_Bird

图源：x@morallawwithin

不外，Jineon Baek 的解释论文足足有 119 页，题目为《Optimality of Gerver’s Sofa》。联系巨匠考证解释的正确性还需要一些时分。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826

这谈困扰东谈主类 58 年的数学难题终于有了谜底，不少网友也发表了我方的主张。

「我致使不是数学家，自从 20 年前别传这个问题后，我就一直在念念考它。每次我需要把东西通过门时，我齐会意象这个问题。」

「我没意象这个形势会是最优的，这 18 个部分看起来不够优雅。」

解释经过简述

论文共分 8 章，目次如下：

节录只好一句话，「通过解释具有 18 个弧线段的 Gerver 沙发实在达到了最大面积 2.2195，进而照看了移动沙提问题」。

下图为 Gerver 的沙发 G。刻度示意组成 G 范围的 18 条解析弧线和线段的端点，包含 G 的守旧走廊 L_t 在右侧以灰色示意。

在解释 Gerver 的沙发 G 达到最大面积的经过中，作家除了在科学算计器上进行数值算计除外，莫得使用任何的算计机扶持。下图 1.3 为从走廊（顶部）和沙发（底部）视角来看移动沙发的移动。

底下为作家要解释的定理 1.1.1。

这个问题之是以很难，是因为莫得一个通用的公式不错算计扫数可能的移动沙发面积。因此，为了照看这个问题，作家解释了最大面积的移动沙发 S_max 的一个属性，被称为可注入性条目（injectivity condition）。

对于每个知足条目的移动沙发 S，作家将界说一个更大的形势 R，它访佛于 Gerver 沙发的形势（下图 1.2）。那么 R 的面积 Q (S) 便是 S 面积的上限，若是是 Gerver 沙发 G，则 Q (S) 与 S 的精准面积相匹配。S 的可注入性条目确保区域 R 的范围酿成 Jordan 弧线，从而或者使用格林定理算计 Q (S)。

然后，移动沙发 S 面积的上界 Q (S) 相对于 S 的最大值如下所示：作家使用 Brunn-Minkowski 表面将 Q 示意为凸体元组 (K,B,D) 空间 L 上的二次函数（上图 1.2），并使用 Mamikon 定理配置 Q 在 L 上的全局凹性（下图 1.13）。

作家使用加州大学戴维斯分校数学系教授 Dan Romik [Rom18] 对于 Gerver 沙发 G 的局部最优方程，彩娱乐|中国|股份有限公司来解释 S = G 局部最大化 Q (S)。由于 Q 是凹的，因此 G 也全局最大化 Q。何况，由于上界 Q 与 G 处的面积相匹配，因此沙发 G 也全局最大化了面积，从而解释定理 1.1.1。

具体来讲，定理 1.1.1 的无缺解释分为以下三个主要法子：

法子 1 ：摈弃最大面积移动沙发 S_max 的可能形势；法子 2 ：配置 S_max 的可注入性条目；法子 3 ：构建知足可注入性条目的移动沙发 S 面积的上界 Q (S)，并最大化对于 S 的 Q (S)。

作家提供了法子 1、2、3 的更细分法子。

其中法子 1-(a) 将 S_max 的可能形势平缓为单调沙发（monotone sofa），即由守旧走廊内角雕饰出的凹痕的凸体（下图 1.4）。

法子 1-(b) 从头解释了 Gerver 的一个热切局部最优条目，即 S_max 的边长应该相互均衡（定理 1.3.1）。

由于 Gerver 的原始解释存在逻辑舛错，莫得照看移动沙发的连通性问题，因此作家引入了新的方针并从头进行了解释。法子 1-(c) 使用前边的法子和基本几何来标明 S_max 在移动经过中旋转了整整一个直角。

法子 2 解释了 S_max 上的可注入性条目，这是之后配置上限 Q 的要津。它标明 L 内角 (0,0) 的轨迹在移动沙发的视角（参考系）中不会酿成自环（下图 1.9）。

为了解释 S_max 的这一条目，作家在 S_max 上配置了一个新的微分不等式（等式 (1.9)。该不等式受到了 Romik 的一个 ODE 的启发，该 ODE 均衡了 Gerver 沙发的微分边（等式 (1.8)）。

法子 3-(a) 将扫数移动沙发的空间 S 推广为具有单射条目的凸体元组 (K,B,D) 的权衡 L，使得每个 S 逐一映射到 (K,B,D) ∈ L（但不一定到 L）。该凸体形色了包围 S 的区域 R 的不同部分（上图 1.2）。

法子 3-(b) 界说了推广域 L 上的上界 Q。作家罢职 R 的范围，并使用格林定理和 Brunn-Minkowski 表面中对于 K、B 和 D 的二次面积抒发式来示意其面积 Q。同期使用单射条目和 Jordan 弧线定理严格解释 Q (K,B,D) 是 S 面积的上界。

法子 3-(c) 使用 Mamikon 定理细则 Q 在 L 上的凹度（上图 1.13）。法子 3-(d) 算计由 Gerver 沙发 G 产生的凸体 (K,B,D) ∈ L 处 Q 的标的导数。Romik [Rom18] 在 G 上的局部最优 ODE 用于标明标的导数遥远为非恰巧。这意味着 G 是 Q 在 L 中的局部最优值。Q 在 L 上的凹度意味着 G 亦然 Q 在 L 中的全局最优值。由于 G 处 Q 的值与面积匹配，沙发 G 也全局最大化了面积，最终完成定理 1.1.1 的解释。

更具体的解释细节请参考原论文。

回顾比赛，广厦队打的什么战术，说白了，就是赌你锋线投不进。看起来付豪和李晓旭数据还行，但影响不到全局。而且杨鸣有些固执，还是打三后卫，这如何对抗广厦。说到底还是张镇麟不在，他能游走3，4号位，为球队得分和抢篮板球，然而现在缺阵。辽宁队现在解决这一问题只有等韦伯到队，否则打强队还是老样子。

作家先容

这篇论文的作家 Jineon Baek，本科毕业于韩国浦项科技大学，博士技艺就读于好意思国密歇根大学安娜堡分校。现为韩国首尔延世大学的博士后接洽员，导师是 Joonkyung Lee。